Your Personal Math TA

수학 카드 뉴스 '가우스와 소피 제르맹'의 이야기를 소개했습니다. 해당 뉴스에서 제르맹의 주요 분야가 페르마의 마지막 정리라 소개했었는데, 이번 글에서는 페르마의 마지막 정리가 정확히 무엇인지, 그리고 제르맹은 어떤 업적을 남겼는지 간단하게 살펴볼까 합니다. (간단하게 살펴보는 이유는, 언젠가 기회가 되면 페르마의 마지막 정리를 따로 소개하고 싶어서...) 들어가기에 앞서 페르마의 마지막 정리를 FLT(Fermat's Last Theorem)이라고 표기할게요. 이는 수학자들도 자주 즐겨 쓰는 줄임말이니, 알아두면 언젠가 수학자들 앞에서 지식을 뽐낼 수 있을 거에요. 먼저 FLT는 다음과 같습니다. $n$이 3 이상인 자연수일 때 $X^n+Y^n=Z^n$을 만족하는 0이 아닌 정수해 $X,Y,Z$는 존재하..

수학 카드 뉴스 갈루아 편에서 갈루아는 '해가 아니라 해들의 구조'에 초점을 뒀다고 소개했습니다. 오늘은 갈루아가 통찰했던 '구조'와 그가 만들어낸 갈루아 이론이라는 것이 무엇인지 간단하게 설명해보려 합니다. 들어가기에 앞서, 보통 갈루아 이론은 학부 3~4학년 때에 배우는 내용입니다. 즉 수학과 학부 커리큘럼 중에서도 제법 상위에 속하는 내용입니다. 제 나름 최선을 다해 쉽게 설명하려고 노력하겠습니다만, 제가 쓴 걸 다시 읽어본 지금도 솔직히 어렵다는 인상이 있습니다. 그러니 어디까지나, 이런 게 있고, 갈루아가 이런 걸 18살에 파악했다니 뛰어난 천재성을 가졌구나 정도로 인식해주시길 바랍니다. 만약 정말로 갈루아 이론을 제대로 배워보고 싶으신 수학과 학부생들이라면, 이 내용을 간단한 소개 정도로만 봐..

안녕하세요 지난 편 '자연수에서 실수로'에서는 어떻게 가장 기본적이고 자연스러운 수의 형태인 자연수가 각각 정수, 유리수, 실수로 확장되었는지를 소개했습니다. 오늘은 그보다 더 큰 확장에 대해서 다뤄보도록 할까요? 실수에서 복소수로 복소수를 알기 위해서는 먼저 허수라는 개념을 잡아야 합니다. 허수란 제곱해서 음수가 되는 수를 말하지요. 제곱해서 $-1$이 되는 '가상의' 수를 $i$라고 표기합니다. 우리가 일반적으로 알고 있는 실수에서는 불가능한 개념이지요. 즉 $i = \sqrt{-1}$인 셈입니다. 그리고 허수와 실수로 만들어진 모든 수를 복소수라고 하지요. 복소수란 $a+bi$꼴로 표현될 수 있는 모든 수를 말합니다. 수학의 발전이 항상 선형적인 것은 아닙니다. 정수의 존재를 알기 전에 유리수의 존..

여러분들은 아마 중고등학생 시절 수학 시간에 수의 체계에 대해서 배우셨을 것입니다. 먼저 자연수에서 시작해, 정수, 유리수, 실수, 그리고 더 나아가 복소수까지 하나하나 차근차근히 배웁니다. 흥미로운 체계입니다만, 지금 생각해보면 조금 의아합니다. $1, 2, 3, 4, \ldots$ 자연수는 너무나 자연스럽습니다. 그런데 왜 이 앞에 마이너스를 붙여 정수를 만들었을까, 왜 유리수로는 충분하지 않아 무리수를 정의했을까, 왜 복소수가 필요한 걸까, 이런 의문들이 듭니다. 이번 시간에는, 대수학적 관점에서 수의 확장이 왜 필요했는지를 설명해보겠습니다. 자연수에서 정수로 이름부터 싱그럽고 자연스러운 자연수는 1, 2, 3, 4 등 '세는 숫자'들을 말합니다. 수학에서는 영어의 Natural Numbers의 앞..

안녕하세요 난제를 파헤쳐 선보이다, 난파선입니다. 지난 편에선 BSD가 어떻게 시작되었는지에 대해 소개해드렸습니다. 한번 간략하게 요약해볼까요? $y^2=x^3+ax+b$라는 꼴의 방정식을 타원 곡선이라 합니다. 여기서 수학자들은 $a, b$가 둘 다 유리수인 경우만 집중하지요. $A$와 $B$가 둘 다 유리수인, 곡선 위의 좌표점 $(A,B)$를 유리점이라고 정의했었습니다. 어떤 타원 곡선은 유한개의 유리점을 갖는데, 어떤 타원 곡선은 무한히 많은 유리점을 갖는다고 보여드렸습니다. 도대체 왜 그럴까, 그것이 바로 BSD가 출발한 기원이었지요. 이 유리점들에 관련된 타원 곡선의 대수학적인 성질과 해석학적인 성질이 있는데, 이 둘의 연결에 대해 질문한 것이 바로 BSD였습니다. 이번 편에서는 이 대수학적인..

안녕하세요 난제를 파헤쳐 선보이다, 난파선입니다. 첫 편으로 소개할 난제는 버츠와 스위너톤-다이어 추측(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture, 이하 BSD)이라는 긴 이름의 난제입니다. 오늘은 먼저 이 추측이 어떻게 시작되었는지, 무엇에 관한 이야기인지, 그리고 왜 수학자들의 이목을 끌고 있는지에 대해 소개해 드리겠습니다. 100만 달러가 걸린 문제 밀레니엄 문제라고 들어보셨나요? 2000년 클레이 수학연구소에서 지정한 7개의 수학 문제로, 각각 100만 달러의 상금이 걸려있지요. 이 중 해결된 것은 오직 하나뿐, 나머지 6개의 문제와 600만 달러의 상금은 그 주인을 기다리고 있습니다. 문제 하나 푸는데 100만 달러나 되는 상금이라니 터무니없는 이야기 같지요? 하지만 그 ..